以下是 2024 年 CSP-J 第一轮试题的详细解答与解析：

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一、 单项选择题

1. 答案：C
解析：32 位有符号整数（int）使用补码表示，其取值范围是 $-2^{31}$ 到 $2^{31}-1$，即 $-2147483648$ 到 $+2147483647$。

2. 答案：A
解析：先将所有数转换为十进制：

• $14_8 = 1 \times 8 + 4 = 12_{10}$
• $1010_2 = 8 + 2 = 10_{10}$
• $D_{16} = 13_{10}$
• $1101_2 = 8 + 4 + 1 = 13_{10}$ 代入计算：$(12 - 10) \times 13 - 13 = 2 \times 13 - 13 = 26 - 13 = 13_{10}$。

3. 答案：B
解析：从 10 人中选 4 人，且每个部门至少 1 人，共有 3 种人员分配情况：

• A部门2人，B部门1人，C部门1人：$C_4^2 \times C_3^1 \times C_3^1 = 6 \times 3 \times 3 = 54$ 种
• A部门1人，B部门2人，C部门1人：$C_4^1 \times C_3^2 \times C_3^1 = 4 \times 3 \times 3 = 36$ 种
• A部门1人，B部门1人，C部门2人：$C_4^1 \times C_3^1 \times C_3^2 = 4 \times 3 \times 3 = 36$ 种 总方式 = $54 + 36 + 36 = 126$ 种。

4. 答案：D
解析：4 位格雷码的特点是相邻两个码字只有一位不同。0 到 7 的标准格雷码序列为：0000, 0001, 0011, 0010, 0110, 0111, 0101, 0100。（注：题目中“0至8”应为笔误，实际选项给出的是 0 至 7 共 8 个状态的格雷码）。

5. 答案：D
解析：$1 \text{ MB} = 1024 \text{ KB} = 1024 \times 1024 \text{ Byte} = 1048576 \text{ Byte}$。
$1 \text{ Byte} = 8 \text{ bit}$，所以 $1 \text{ MB} = 1048576 \times 8 = 8388608 \text{ bit}$。

6. 答案：C
解析：C++ 的基本数据类型包括 int, float, char, double, bool 等。struct 是构造类型（或复合类型），不属于基本数据类型。

7. 答案：D
解析：C++ 中的循环语句有 for, while, do-while。repeat-until 是 Pascal 等语言中的循环语句，C++ 中没有。

8. 答案：B
解析：字符 'a' 的 ASCII 码值为 97。$97 + 13 = 110$。ASCII 码 110 对应的字符是 'n'（'m' 是 109，'n' 是 110）。

9. 答案：B
解析：二分查找的最大比较次数为 $\lceil \log_2(n+1) \rceil$。对于 $n=1000$，$\log_2(1001) \approx 9.96$，向上取整为 10 次。

10. 答案：A
解析：Notepad（记事本）是一个文本编辑器应用程序，不是操作系统。Linux, Windows, macOS 均为操作系统。

11. 答案：B
解析：根据图论中的握手定理，无向图中所有顶点的度数之和等于边数的两倍（因为每条边为两个端点各贡献 1 度）。

12. 答案：A
解析：根据前序遍历（根-左-右）和中序遍历（左-根-右）重建二叉树：

• 前序首元素 A 是根节点。
• 中序中 A 将序列分为左子树 D,B,E 和右子树 F,C,G。
• 左子树前序为 B,D,E，根为 B；中序为 D,B,E，故 D 是 B 的左孩子，E 是 B 的右孩子。
• 右子树前序为 C,F,G，根为 C；中序为 F,C,G，故 F 是 C 的左孩子，G 是 C 的右孩子。 后序遍历（左-右-根）结果为：D, E, B, F, G, C, A。

13. 答案：D
解析：模拟栈操作：

• A: 1,2,3,4,5,6 全部入栈，然后依次出栈，可得 6,5,4,3,2,1。
• B: 1 入栈并出栈；2,3,4,5,6 入栈，然后依次出栈，可得 1,6,5,4,3,2。
• C: 1,2 入栈，2 出栈；3,4 入栈，4 出栈；5,6 入栈，6 出栈，5 出栈，3 出栈，1 出栈。可得 2,4,6,5,3,1。
• D: 1 入栈出栈；2,3 入栈，3 出栈；4,5 入栈，5 出栈。此时栈内从顶到底为 4, 2。下一个出栈的必须是 4，不可能是 2。故 D 不可能。

14. 答案：A
解析：使用捆绑法。将 3 个女生看作一个整体，与 5 个男生一起排列，共有 $6!$ 种排法。3 个女生内部有 $3!$ 种排法。总排列数 = $6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$ 种。

15. 答案：B
解析：编译器的主要作用是将高级语言编写的源代码翻译（转换）为计算机能够直接执行的机器代码（或目标代码）。

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二、 阅读程序

(1) 素数统计

16. 答案：A (正确)
解析：10 以内的素数有 2, 3, 5, 7，共 4 个，它们的和为 $2+3+5+7=17$。程序输出 "4 17"，正确。

17. 答案：B (错误)
解析：将 i*i <= n 改为 i <= n/2 只是扩大了判断素数时的循环上界。对于判断一个数是否为素数，只要上界 $\ge \sqrt{n}$ 结果就是正确的。因此 countPrimes(20) 的结果依然是 8（2,3,5,7,11,13,17,19），不会变为 6。

18. 答案：A (正确)
解析：sumPrimes 函数遍历 2 到 $n$，调用 isPrime 判断，若是素数则累加到 sum 中，功能描述正确。

19. 答案：B
解析：50 以内的素数有：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47。共 15 个。它们的和为 328。

20. 答案：B
解析：将循环条件改为 i <= n，对于判断素数的逻辑结果没有影响（依然能正确判断），只是做了更多无用的循环，导致运行时间变长，但输出结果仍然是 "4" 和 "17"。

(2) 最小花费爬楼梯

21. 答案：A (正确)
解析：cost = {10, 15, 20}。dp[1] = 10。dp[2] = min(10, 0) + 15 = 15。dp[3] = min(15, 10) + 20 = 30。返回 min(dp[3], dp[2]) = min(30, 15) = 15。正确。

22. 答案：B (错误)
解析：C++ 中 vector 的 [] 运算符不进行边界检查。当 i=2 时，dp[i-3] 即 dp[-1] 会导致未定义行为（访问越界），但这通常是运行时错误，而不是编译错误。

23. 答案：B (错误)
解析：程序计算的是到达顶部所需的最小花费，不一定等于数组中的最小元素。例如 cost = {1, 100, 1}，最小元素是 1，但程序输出为 min(dp[3], dp[2]) = min(2, 100) = 2。

24. 答案：A
解析：模拟 DP 过程： dp[0]=0, dp[1]=1, dp[2]=min(1,0)+100=100, dp[3]=min(100,1)+1=2, dp[4]=min(2,100)+1=3, dp[5]=min(3,2)+1=3, dp[6]=min(3,3)+100=103, dp[7]=min(103,3)+1=4, dp[8]=min(4,103)+1=5, dp[9]=min(5,4)+100=104, dp[10]=min(104,5)+1=6。返回 min(6, 104) = 6。

25. 答案：B
解析：cost = {10, 15, 30, 5, 5, 10, 20}。 dp[1]=10, dp[2]=15, dp[3]=40, dp[4]=20, dp[5]=25, dp[6]=30, dp[7]=45。返回 min(45, 30) = 30。

26. 答案：A
解析：修改后 dp[i] = dp[i-1] + cost[i-2]。cost = {5, 10, 15}。 dp[1] = 5。 i=2: dp[2] = dp[1] + cost[0] = 5 + 5 = 10。 i=3: dp[3] = dp[2] + cost[1] = 10 + 10 = 20。 返回 min(dp[3], dp[2]) = min(20, 10) = 10。

(3) 递归与幂运算

27. 答案：B (错误)
解析：customFunction(2, 3) 的计算过程为：$2 + \text{custom}(2, 2) = 2 + 2 + \text{custom}(2, 1) = 2 + 2 + 2 + \text{custom}(2, 0)$。当 $b=0$ 时返回 $a$（即 2）。所以总结果为 $2+2+2+2 = 8$。题目说返回 64（64 是 main 函数中 pow(8, 2) 的结果），故描述错误。

28. 答案：A (正确)
解析：当 $b$ 为负数时，每次递归 $b$ 减 1，会变得越来越小，永远无法达到基线条件 $b=0$，从而导致无限递归（最终栈溢出）。(注：原题标注为错题，但按逻辑陈述本身是正确的)

29. 答案：A (正确)
解析：$b$ 的值越大，递归调用的深度越深，执行的加法操作次数越多，程序运行时间自然越长。(注：原题标注为错题，但按逻辑陈述本身是正确的)

30. 答案：B
解析：customFunction(5, 4) 的计算：$5 + \text{custom}(5, 3) = 5 + 5 + \text{custom}(5, 2) = 5 + 5 + 5 + \text{custom}(5, 1) = 5 + 5 + 5 + 5 + \text{custom}(5, 0)$。当 $b=0$ 时返回 $a$ (即 5)。所以结果为 $5 \times 5 = 25$。

31. 答案：C
解析：输入 $x=3, y=3$。customFunction(3, 3) 返回 $3 \times (3 + 1) = 12$。main 函数中输出 pow(12, 2)，即 $12^2 = 144$。

32. 答案：D
解析：修改为 return a + customFunction(a-1, b-1);。输入 3, 3。 custom(3, 3) = 3 + custom(2, 2) custom(2, 2) = 2 + custom(1, 1) custom(1, 1) = 1 + custom(0, 0) custom(0, 0)：此时 $b=0$，返回 $a$，即 0。 所以 custom(3, 3) = 3 + 2 + 1 + 0 = 6。最终输出 pow(6, 2) = 36。

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三、 完善程序

(1) 判断平方数

33. 答案：A
解析：判断完全平方数，应从最小的正整数 1 开始尝试，故 ① 填 1。

34. 答案：B
解析：只需遍历到 $\sqrt{num}$ 即可。floor(sqrt(num)) 向下取整得到整数上界，故 ② 填 (int)floor(sqrt(num))。

35. 答案：D
解析：判断当前 $i$ 的平方是否等于 num，故 ③ 填 num == i * i。

36. 答案：C
解析：如果找到了 $i$ 使得 $i \times i = num$，说明是完全平方数，应返回 true。

37. 答案：D
解析：如果循环结束都没有找到满足条件的 $i$，说明不是完全平方数，应返回 false。

(2) 汉诺塔问题

38. 答案：B
解析：递归的基线条件是只剩 1 个圆盘时，直接将其从源柱子移动到目标柱子，故 ① 填 1。

39. 答案：B
解析：当只剩 1 个圆盘时，直接从 src 移动到 tgt，故 ② 填 src, tgt。

40. 答案：B
解析：第一步递归：将上面 $i-1$ 个圆盘从 src 借助 tgt 移动到 tmp。参数顺序为 src, tgt, tmp。

41. 答案：B
解析：第三步递归：将 $i-1$ 个圆盘从 tmp 借助 src 移动到 tgt。参数顺序为 tmp, src, tgt。

42. 答案：C
解析：递归移动的是 $i-1$ 个圆盘，故 ⑤ 填 i-1。