我真的不知道出题人把 $k$ 开到 $2 \times n$ 是什么意思，明明 $k=n$ 就够了。

考虑开一个栈进行括号匹配。
每次询问时，将 $l$ 设为栈顶中的下标，将 $r$ 设为 $c_r$ 未知的最左侧下标。
若交互库返回 Yes，说明 $c_r$ 为 )，并将栈顶元素弹出；
否则 $c_r$ 为 (，并将 $r$ 压入栈中。
注意特判栈为空，此时不询问，直接将 $r$ 压入栈中，并将 $c_r$ 设为 (。
下面是代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int n,l[500007],hd,r=1;
char c[500007];
string s;
int main(){
	cin>>n;
	while(r<=n){
		if(!hd){
			hd=1;
			l[hd]=r;
			c[r]='(';
			r++;
			continue;
		}
		cout<<"? "<<l[hd]<<' '<<r<<endl;
		cin>>s;
		if(s[0]=='Y'){
			c[r]=')';
			hd--;
			r++;
		}
		else{
			c[r]='(';
			hd++;
			l[hd]=r;
			r++;
		}
	}
	cout<<"! ";
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<c[i];
	cout<<endl;
	return 0;
}