1 条题解

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    @ 2026-5-12 22:14:50

    很厉害的构造题。下文所述中一个 BB 进制数的第 ii 位为从左往右数第 ii 位。

    考虑对于一个进制 BB,若能构造出长度为 nn 的答案,则一定能构造出长度为 n+1n+1 的答案:因为若 $2\times \overline{d_1d_2\cdots d_n}=\overline{d_{p_1}d_{p_2}\cdots d_{p_n}}$,那么一定有 $2\times \overline{d_1d_2\cdots d_{i-1}(B-1)d_i\cdots d_n}=\overline{d_{p_1}d_{p_2}\cdots d_{p_{i-1}}(B-1)d_{p_i}\cdots d_{p_n}}$,其中 ii 表示在长度为 nn 的原数中某个向前一位进位的数位;即在第 i1i-1 位与第 ii 位中插入了一个 B1B-1 必然也能满足条件。于是问题转换为:对于每个 BB 找出最小的 nn 使得 nn 有解。

    大胆猜测对于 2B2×1052\le B\le 2\times 10^5,最小的满足条件的 nn 不大——事实证明存在较少个 BB 使得 n=9n=9,其它情况下均满足 n8n\le 8。于是可以提出一个十分暴力的做法:

    枚举原数 x=d1d2dnx=\overline{d_1d_2\cdots d_n} 的每一位对应 2x=dp1dp2dpn2x=\overline{d_{p_1}d_{p_2}\cdots d_{p_n}} 的哪一位(即确定一个排列 pp),再枚举 2n2\sim n 中每一位有没有是否有向前一位进位,之后就可以得到关于 did_inn 个方程——是可以解出所有 did_i 的。

    具体地,对于一个排列 pp,连边 ipii\to p_i,可以得到若干个环。每条边代表的方程是如下的形式:令 bxb_x 表示 xx 是否向 x1x-1 进位,如果进位为 11 否则为 00,则方程为 dpi=2di+bi+1Bbid_{p_i}=2d_i+b_{i+1}-B\cdot b_i

    对于一个环 c1,c2,,ckc_1,c_2,\ldots,c_k,通过如下方法解出所有 dcid_{c_i} 的值:将 dc2d_{c_2} 用一个关于 dc1d_{c_1} 的一次函数表示,接着就可以表示 dc3,dc4,,dcnd_{c_3},d_{c_4},\ldots,d_{c_n},最后由于 cnc1c_n\to c_1 也有一个方程,所以能确定 k,bk',b' 使得 dc1=kdc1+bd_{c_1}=k'd_{c_1}+b',得出 dc1d_{c_1} 的值后又能顺次推出其他的 dcid_{c_i};最后检查一下所有解出的 did_i 是否满足 di[0,B)Zd_i\in[0,B)\cap\Z 即可。

    如果你被卡常,下载数据后发现 B=32131B=32131 跑得最慢,打表一下就过了。

    放代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N=2e5;
    vector<int> vl[N+1],vr[N+1];
    pair<vector<int>,vector<int> > solve(int B){
      if(B==32131){
        return make_pair(
          vector<int>({7545,15090}),
          vector<int>({30181,28232,24334,3772,16537,943,1886})
        );
      } // 特判
      for(int n=2;;n++){
        vector<int> p(n);
        iota(p.begin(),p.end(),0);
        do{
          for(int S=2;S<1<<n;S+=2){
            bool f=true;
            vector<bool> b(n);
            vector<int> r(n,-1);
            for(int i=0;i<n&&f;i++)
              if(!b[i]){
                int x=i; vector<int> v;
                while(!b[x])v.emplace_back(x),b[x]=true,x=p[x];
                pair<int,int> lf(1,0); // 一次函数
                for(int i:v)lf=make_pair(lf.first*2,lf.second*2+(S>>i+1&1)-(S>>i&1)*B);
                if(lf.second%(lf.first-1))f=false; // 无整数解
                else{
                  r[v[0]]=-lf.second/(lf.first-1);
                  for(int i=1;i<v.size();i++)
                    r[v[i]]=r[v[i-1]]*2+(S>>v[i-1]+1&1)-(S>>v[i-1]&1)*B;
                } // 顺次推出所有值
              }
            for(int i=0;i<n&&f;i++)
              f&=0<=r[i]&&r[i]<B;
            if(f){
              for(int i=0;i<n;i++)
                if(S>>i&1){
                  vector<int> L,R;
                  for(int j=0;j<i;j++)
                    L.emplace_back(r[j]);
                  for(int j=i;j<n;j++)
                    R.emplace_back(r[j]);
                  return make_pair(L,R);
                }
            }
          } // 枚举进位
        }while(next_permutation(p.begin(),p.end()));
        // 枚举排列
      }
    }
    int main(){
      ios::sync_with_stdio(false);
      cin.tie(0); cout.tie(0);
      int t; cin>>t;
      while(t--){
        int n,b; cin>>n>>b;
        if(vl[b].empty())tie(vl[b],vr[b])=solve(b);
        if(vl[b].size()+vr[b].size()>n){cout<<"-1\n"; continue;}
        for(int i:vl[b])cout<<i<<' ';
        for(int i=0;i<n-vl[b].size()-vr[b].size();i++)
          cout<<b-1<<' ';
        for(int i:vr[b])cout<<i<<' ';
        cout<<'\n';
      }
      return 0;
    }
    
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