看了官方题解，感觉题解没有很好的解释每一步是什么来的，也可能是我太菜了，所以我来写一篇详细推导的题解。

设一个桶的容量为 $a$。

第一个桶：每秒接受 $1$ 加仑牛奶，需要 $a_1$ 秒填满。$a_1 + 1$ 时开始反转，$a_1 + 2$ 恢复接收，开始接下一轮。

一轮的时间是 $b_1 = a_1 + 1$ 秒。每隔 $b_1$ 秒，它就会向下倒出 $a_1$ 的牛奶。

第二个桶每次接受 $a_1$ 加仑牛奶，容量为 $a_2$，需要 $\lceil \frac{a_2}{a_1} \rceil$ 次才可以接满，一共需要 $b_2 = \lceil \frac{a_2}{a_1} \rceil \cdot b_1$ 秒。所以一轮的时间是 $b_2 = \lceil \frac{a_2}{a_1} \rceil \cdot b_1$。

以此类推。

第 $i$ 个桶只能等第 $i-1$ 个桶倒水。

它需要等待的次数是 $r_i = \lceil \frac{a_i}{a_{i-1}} \rceil$。

所以第 $i$ 个桶的翻转的一轮时间为：$b_i = \lceil \frac{a_i}{a_{i-1}} \rceil \cdot b_{i-1}$。

第 $1$ 个桶在第 $b_1$ 秒倒水。第 $2$ 个桶在第 $b_2$ 秒刚好接到最后一次倒水，此时它刚好装满。题目规定装满后的下一秒开始翻转。所以第 $2$ 个桶是在第 $b_2 + 1$ 秒完成倒水。这就产生了一秒钟的延迟。同理，第 $3$ 个桶会在第 $b_3 + 2$ 秒刚好装满，在第 $b_3 + 2$ 秒完成倒水。又多了一秒延迟。

以此类推，到了最后一个桶（第 $n$ 个桶），它的延迟是 $n - 1$，它完成第一次倒水（把奶倒入池子）的时间点是 $b_n + (n - 1)$ 秒。

所以第 $n$ 个桶在第 $k \cdot b_n + (n - 1)$ 时刻发生第 $k$ 次翻转。

为了计算池子中的牛奶数，我们应该计算在总时间 $t$ 内，第 $n$ 个桶翻转了多少次。

我们需要找到满足条件的最大翻转次数 $k$，即：

$k \cdot b_n + (n - 1) \le t$

移项：

$k \cdot b_n \le t - (n - 1)$

$k = \lfloor \frac{t - (n - 1)}{b_n} \rfloor$

如果 $t < n - 1$，$k$ 是 $0$，因为没有发生任何翻转。

每次，第 $n$ 个桶往池子中倒入 $a_n$ 加仑牛奶。

最终池子有 $a_n \cdot k = a_n \cdot \lfloor \frac{t - (n - 1)}{b_n} \rfloor$ 加仑牛奶。

但是直接 for 肯定会 TLE，不 TLE 也会爆 long long，因为一轮的时间 $b_i$ 是乘法级增长的。

我们观察 $r_i = \lceil \frac{a_i}{a_{i-1}} \rceil$，发现当 $a_i \le a_{i - 1}$ 时一轮翻转的时间 $b_i = \lceil \frac{a_i}{a_{i-1}} \rceil \cdot b_{i-1} = 1 \cdot b_{i-1} = b_{i - 1}$，一轮翻转的时间根本没有增长。如果 $a_i > a_{i - 1}$ 呢？那么 $r_i$ 至少是 $\ge 2$ 的！

回到题目，题目给定的 $t$ 最大是 $10^{18}$。这意味着如果某一个桶的一轮翻转时间 $b_i > 10^{18}$，那没有任何牛奶倒到水池中，此时答案是 $0$。

那一轮的时间最多翻转 $\log_2(10^{18}) \le 60$ 次，就会 $\ge 10^{18}$。

所以，从上往下的推导中，真正会让某一个桶的翻转时间变大的，即 $a_i > a_{i-1}$ 的桶，最多只会有 $60$ 个。如果大于 $60$ 个，那么答案为 $0$。

对于 $a_i \le a_{i-1}$ 的桶，对一轮翻转的时间没有影响，我们可以跳过它们。

我们可以使用 std::set 维护 $a_i > a_{i-1}$ 的桶，每次修改第 $x$ 个桶都只会影响 $x$ 与 $x-1$ 的关系和 $x + 1$ 与 $x$ 的关系。

对于每一次查询，我们只需要遍历 set 即可。

代码：

#include <iostream>
#include <set>
#include <vector>

int main() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<long long> a(n + 2, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++) { std::cin >> a[i]; }
    std::set<long long> s;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (a[i] > a[i - 1]) s.insert(i);
        else s.erase(i);
    }

    int q;
    std::cin >> q;
    while (q--) {
        int i;
        long long v, t;
        std::cin >> i >> v >> t;
        a[i] = v;
        if (i >= 2) {
            if (a[i] > a[i - 1]) s.insert(i);
            else s.erase(i);
        }
        if (i + 1 >= 2 && i + 1 <= n) {
            if (a[i + 1] > a[i]) s.insert(i + 1);
            else s.erase(i + 1);
        }

        long long ans = std::max(0ll, t - (n - 1));
        ans /= a[1] + 1;
        for (int i : s) {
            if (ans == 0) break;
            long long r = (a[i] + a[i - 1] - 1) / a[i - 1];
            ans /= r;
        }
        ans *= a[n];
        std::cout << ans << std::endl;
    }
}