题目：求方程 $(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \leq m)$ 的非负整数解的个数，其中 $(0 \leq x_i \leq a_i )$

解题思路

1. 组合数基础：方程 $(x_1 + x_2 + \cdots + x_n = m)$ 的非负整数解个数为 $\binom{m+n-1}{n-1}$ 。
2. 容斥原理：对于有上界限制 $x_i \leq a_i$ 的情况，使用容斥原理排除不满足条件的解。通过枚举所有非空子集，计算每个子集对应的“超界”情况，调整总解数。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;
LL a[21];
LL pow_mod(LL a,LL b)
{
    LL res=1%mod;a%=mod;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
LL C(LL n,LL m)
{
    if(n<m)return 0;
    LL s1=1,s2=1;
    for(LL i=n-m+1;i<=n;i++)s1=i%mod*s1%mod;
    for(LL i=1;i<=m;i++)s2=i%mod*s2%mod;
    return s1*pow_mod(s2,mod-2)%mod;
}
int main()
{
    LL n,m;scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    LL ans=C(m+n-1,n-1);
    for(int i=1;i<(1<<n);i++)
    {
        LL s=0,sign=1;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i&(1<<j))s=s+(a[j]+1),sign*=-1;
        }
        ans=(ans+C(m+n-1-s,n-1)*sign)%mod;
    }
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}