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AT_abc113_d [ABC113D] Number of Amidakuji

题目描述

阿弥陀签（あみだくじ）是日本自古流传下来的传统抽签方式。

制作阿弥陀签时，首先画出 $W$ 条平行的竖线，然后在这些竖线之间画横线。每根竖线的长度为 $H+1$ 厘米，横线的端点只能位于从上到下的 $1,2,3,\ldots,H$ 厘米处。

这里，“正确的阿弥陀签”需满足以下条件：

• 任意两根横线不能有端点重合。
• 每根横线的两个端点必须在同一高度。
• 横线只能连接相邻的两根竖线。

从第 $1$ 根竖线的顶端出发，按照“如果有横线就一定要经过横线”的规则一直向下，最终到达的竖线编号为 $K$。请计算满足条件的“正确的阿弥陀签”方案数，并对 $1\ 000\ 000\ 007$ 取模。

例如，下图中的阿弥陀签，最终到达的竖线编号为 $4$。

输入格式

输入以以下格式从标准输入读入。

$H$ $W$ $K$

输出格式

输出满足条件的阿弥陀签方案数，对 $1\ 000\ 000\ 007$ 取模。

样例 1

输入

1 3 2

输出

1

样例 2

输入

1 3 1

输出

2

样例 3

输入

2 3 3

输出

1

样例 4

输入

2 3 1

输出

5

样例 5

输入

7 1 1

输出

1

样例 6

输入

15 8 5

输出

437760187

说明/提示

限制

• $1 \leq H \leq 100$
• $1 \leq W \leq 8$
• $1 \leq K \leq W$

样例解释 1

只有下图中的 $1$ 个阿弥陀签满足条件。

样例解释 2

只有下图中的 $2$ 个阿弥陀签满足条件。

样例解释 3

只有下图中的 $1$ 个阿弥陀签满足条件。

样例解释 4

只有下图中的 $5$ 个阿弥陀签满足条件。

样例解释 5

由于只有 $1$ 根竖线，无法画横线。因此满足条件的阿弥陀签只有“不画任何横线”的 $1$ 种方案。

样例解释 6

请将答案对 $1\ 000\ 000\ 007$ 取模后输出。

由 ChatGPT 4.1 翻译