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#3304. 「联合省选 2020 A」作业题

标签: 传统 | 时间限制: 3000 ms | 内存限制: 512 MiB |

题目描述

小 W 刚刚在离散数学课学习了生成树的知识：一个无向图 $G = (V,E)$ 的生成树 $T$ 为边集 $E$ 的一个大小为 $|V|-1$ 的子集，且保证 $T$ 的生成子图在 $G$ 中连通。

小 W 在做今天的作业时被这样一道题目难住了：

给定一个 $n$ 个顶点 $m$ 条边（点和边都从 $1$ 开始编号）的无向图 $G$，保证图中无重边和无自环。每一条边有一个正整数边权 $w_i$，对于一棵 $G$ 的生成树 $T$，定义 $T$ 的价值为：$T$ 所包含的边的边权的最大公约数乘以边权之和，即：

$$val(T) = \left(\sum_{i=1}^{n-1} w_{e_i}\right) \times \gcd (w_{e_1}, w_{e_2}, \dots, w_{e_{n-1}})$$

其中 $e_1, e_2, \dots, e_{n-1}$ 为 $T$ 包含的边的编号。

小 W 需要求出 $G$ 的所有生成树 $T$ 的价值之和，他做了很久也没做出来，请你帮帮他。由于答案可能很大，你只需要给出答案对 $998244353$ 取模后的结果。

输入格式

第一行两个正整数 $n,m$，表示 $G$ 的点数和边数。

接下来 $m$ 行，每行三个正整数 $u_i, v_i, w_i$，第 $i$ 行表示一条无向边连接 $u_i$ 号点和 $v_i$ 号点，权值为 $w_i$。

输出格式

仅一行一个整数，表示答案对 $998244353$ 取模后的结果。

样例

输入

3 3
1 2 4
2 3 6
1 3 12

输出

192

$G$ 共有三棵生成树：

$T_1 = \{(1, 2), (2, 3)\}$，价值为 $10\times 2 = 20$。

$T_2 = \{(1, 2), (1, 3)\}$，价值为 $16\times 4 = 64$。

$T_3 = \{(1, 3), (2, 3)\}$，价值为 $18\times 6 = 108$。

总和为 $192$。

见附加文件中 count2.in 与 count2.ans。

数据范围与提示

$10\%$ 的数据满足：$m\le 15$。

另有 $20\%$ 的数据满足：$m \le n$。

另有 $20\%$ 的数据满足：$w_i$ 均相同。

另有 $20\%$ 的数据满足：$w_i$ 均为质数。

$100\%$ 的数据满足：$2\le n\le 30, 1\le m \le \frac {n(n-1)}2, 1\le w_i \le 152501$。