更新于 2026/6/29 19:53:02 作者

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您将在此看到 OIer 分块的最低水平。

0. 分块概论

在数据结构问题中，我们需要维护一些离散的信息单位，单位的数目会影响处理的复杂度。

如果信息支持不受限制的合并与批量处理，那么就可以使用线段树等区间数据结构。

当然，有时并不存在高效的信息合并化简方式，而需要在“批量”和“零散”之间找到平衡点，这就是分块的核心思想。

这一类问题的性质更弱，所以问题形式变化多端，“整散”关系多种多样，具有传统数据结构难以比拟的灵活性。

1. 基础数列分块

在这一节中，我们将认识一些经典的数列分块问题，初步熟悉分块的形式和思想。

• 数列分块的形式

下面统一约定数列长度为 $n$ ，块大小为 $B$。

如图，在分块中有如下概念 :

• 末尾小块 : 因为整个数列划分不整而得到的一个较小的块，可能带来多余的细节。有时可以人为地增长数列将小块变成正常大小的块。

• 整块 : 被操作区间完整覆盖的块。总块数是 $O(n/B)$ 的。

• 散块 : 被操作区间覆盖了一部分的块。散块包含的元素数目是 $O(B)$ 的。

找出所有的 整块 和 散块内元素 是容易的。

• $\color{green}\bf\Delta$ P3372 【模板】线段树 1

  题意 : 区间加，区间求和。

在这个问题中，信息能够高效合并，这使得分块没有太大的优势。

但是，从这一类简单问题入门分块比较易于初学者理解。

• 区间查询 （一般先分析查询，搞清楚需要维护什么，再考虑如何维护）

  注意到，每个元素对答案的贡献是独立的。我们可以对每个 块 / 散块 分别计算贡献。

  （大多数分块都会满足这个性质，因为块间贡献一般很难考虑）

  对每个整块记下总和，这样容易 $O(1)$ 计算贡献。对于散块，暴力求和。

• 区间修改

  对于散块，暴力加。

  对于整块，记录加法标记。

  这样，总和 $=$ 块内元素总和 $+$ 标记 $\times$ 块大小。

  当取单个元素时，要加上对应块的加法标记。

两者的复杂度均为 $O(n/B+B)$ ，令 $B=\sqrt{n}$ 得到最优复杂度 $O(q\sqrt{n})$。

思考我们这样做的本质，不难发现，其实是将线段树这一 “二叉树” 改成了 “$\sqrt{n}$ 叉树” 。

上面的做法对应标记永久化，其实也可以将标记下推，即每次暴力清空两个散块的标记，复杂度不变。

评测记录 | 代码Link

• $\color{green}\bf\Delta$ P2801 教主的魔法

  题意 : 区间加，查询区间大于等于 $k$ 的数的个数。

• 区间查询

  这里贡献仍然独立。

  考虑在每个块内维护有序序列，这样只需要一次二分即可计算块内贡献。

  对于散块，暴力遍历即可。

  若块大小为 $B$ ，则复杂度为 $O((n/B)\log B+B)$。

• 区间加

  对于整块，块内的相对顺序不变，只需记录加法标记。注意考虑加法标记对二分比较的影响。

  对于散块，需要重构有序序列，若加完后暴力排序，复杂度是 $O(B\log B)$。

  在旧的有序序列中提取加和未被加的两部分，各是有序序列，归并即可做到 $O(B)$。

  复杂度 $O((n/B)+B)$。

令 $B=\sqrt{n\log n}$ 得到最优复杂度 $O(q\sqrt{n\log n})$。

复杂度分析技巧 : 分块的主要思想是平衡，若复杂度由两部分组成，直接令两者相等，即可解得最优块大小。

（本题数据非常弱，错误做法可能可以通过）

• $\color{green}\bf\Delta$ Loj#6279. 数列分块入门 3

  题意 : 区间加，查询区间前驱。

类似上一题，对每个块维护有序序列，查询时整块二分，散块暴力。

复杂度 $O(q\sqrt{n\log n})$。

评测记录

• $\color{green}\bf\Delta$ lg5356. [Ynoi Easy Round 2017] 由乃打扑克

  题意 : 区间加，区间第 $k$ 大。

对每个块维护有序序列，查询时二分转化成 P2801。复杂度为 $O(q\sqrt{n\log n}\log w)$ ，无法通过。

仔细分析查询时的操作 : 整块二分，散块暴力。

根据信息论，整块二分难以优化。但对散块进行 $O(\log w)$ 次暴力有些浪费。

可以事先将散块归并，这样对散块的查询无需暴力遍历，而可以一次二分搞定。

这样，单次询问的复杂度改进为 $O\big((n/B)\log B\log w+B \big)$。

若将 $\log w$ 视为与 $\log n$ 同阶，则 令 $B=\sqrt{n}\log n$ 可得复杂度为 $O(q\sqrt{n}\log n)$，卡常后可以通过。

注意，散块部分的常数较大，应适当调小块大小。

评测记录

附 : 觉得不过瘾可以做 P3380 【模板】二逼平衡树（树套树）

• $\color{green}\bf\Delta$ P3203 [HNOI2010]弹飞绵羊

  题意 : 维护一个 $n$ 个点的有向图，每个点都有且仅有一条出边，且指向比自己编号大的点。

  支持修改某个点的出边，查询从某个点出发几步会到达 $n$ 号点。

“行动步数”问题和经典的求算贡献问题有很大不同。

不难发现，若没有修改，容易 $O(n)$ 求出各个点的答案。

对于一个块，预处理其每个元素走出该块所需步数，以及到达的点。

这样，可以 $O(1)$ 跳过一个块。查询复杂度改进为 $O(n/B+B)$。

在修改时，也只需 $O(B)$ 重构一个块。

令 $B=\sqrt{n}$ 可得复杂度为 $O(q\sqrt{n})$。

评测记录

• $\color{green}\bf\Delta$ Loj#6546. 简单的数列题

  题意 : 给定两个长度为 $n$ 的数列 $A,B$ ，支持下列操作：

  • 将数列 $A$ 中区间 $[l,r]$ 内所有数加上 $w$ ;
  • 交换 $B_x$ 和 $B_y$ ;
  • 求 $\max\limits_{i\in[l,r]}\{A_i\times B_i\}$ .

操作二可以直接把涉及到的两个块重构。

区间加时，散块可以暴力重构，但是整块只能打标记。

每个位置的贡献可以看做关于标记的一次函数，于是维护凸壳即可。

散块重构时利用归并可以 $O(B)$ 建立凸壳。

查询时，由于标记只会递增，线性扫即可。

令 $B=\sqrt{n}$ 可得复杂度为 $O(q\sqrt{n})$。

• $\color{green}\bf\Delta$ P4135 作诗

  题意 : 查询区间内出现偶数次的数（称为好数）的个数，强制在线。值域在 $O(n)$ 级别。

此时贡献是不独立的，对每个块分别考虑并不方便。

利用桶记录每个数的出现次数（奇偶性），即可增量维护好数的个数。

记 $s[i,j]$ 为块 $[i...j]$ 中好数个数，可以 $O(n/B)$ 次从各个块开始增量维护得到，复杂度为 $O(n^2/B)$。

记 $o[i][x]$ 表示前 $i$ 个块中 $x$ 的出现次数（奇偶性），通过差分，可以得到任意块区间中某个数的出现次数。

查询时，若 $[l,r]$ 包含的整块区间为 $[L,R]$ ，则先取出 $s[L,R]$。

然后考虑散块的影响，仍然用增量法计算即可。

总复杂度为 $O(nB+n^2/B)$ ，令 $B\sqrt{n}$ 可得复杂度为 $O\big((n+q)\sqrt{n}\big)$。

若要节省空间，可以用 bitset 记录 $o$ ，则空间可以做到 $O(n\sqrt{n}/w)$。

可以发现，本题思想类似于回滚莫队。实际上，静态分块的功能是莫队的子集，所以强制在线时分块才有优越性。

• $\color{green}\bf\Delta$ P4168 [Violet]蒲公英

  题意 : 区间众数，强制在线。

基本操作和上一题非常类似。

贡献不独立。

用桶记录每个数的出现次数（奇偶性），即可增量维护众数。

记 $s[i,j]$ 为块 $[i...j]$ 中的众数，利用增量求解。

记 $o[i][x]$ 表示前 $i$ 个块中 $x$ 的出现次数。

查询时，若 $[l,r]$ 包含的整块区间为 $[L,R]$ ，则先取出 $s[L,R]$。

然后考虑散块的影响，仍然用增量法计算即可。（注意散块对出现次数也有贡献）

时空复杂度均为 $O(n\sqrt{n})$。

• $\color{green}\bf\Delta$ P5048 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology III

  题意 : 区间众数，强制在线。要求空间 $O(n)$。

在上一题中，空间的瓶颈是 $o$ 数组。观察其用途 : 判定散块中某个数在询问区间中的出现次数是否 $>k$。

我们可以用 vector 记录下同类数的所有出现位置。

当判定散块中数 $u$ 出现次数是否 $>k$ 时，假设 $u$ 是询问区间内同类数的最靠左出现（左侧散块，右侧散块类似），则检查 $u$ 后面的第 $k$ 个同类数是否在询问区间外即可。

空间复杂度改进为 $O(n)$ ，时间常数也减小了。

• $\color{green}\bf\Delta$ P5046 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology I

  题意 : 区间逆序对，强制在线。

在逆序对问题中，每一对数都有贡献，贡献模式是二维的。

询问时，答案的贡献成分如下图 :

绿色是整块内部的贡献，橙色是散块内部的贡献，红色是整块和散块之间的贡献，蓝色是散块之间的贡献。

考虑对每个块内前后缀都预处理内部逆序对数，容易使用树状数组做到 $O(n\log n)$，这样就解决了橙色部分。

考虑归并排序的过程，不难两个区间之间的逆序对可以将这两个区间归并计算。

于是，预处理块内有序序列，蓝色部分就可以（先取出有序散块）归并计算。

然后预处理 $s[i,j]$ 表示块 $i...j$ 内部的逆序对数。

考虑差分，有 $s[i,j]=s[i+1,j]+s[i,j-1]-s[i+1,j-1]+(\text{块}i,j\text{之间的贡献})$

两块间贡献仍然可以 $O(\sqrt{n})$ 归并计算，则预处理复杂度为 $O(n\sqrt{n})$。绿色部分完成。

接下来预处理 $o[i][x]$ 表示前 $i$ 个块中 $\leq x$ 的数的个数，然后可以计算红色部分（对每个散块元素分别统计贡献）。

复杂度为 $O(n\sqrt{n})$。此做法常数较大。

还有另一个常数较小的做法，预处理 $f[i][j]$ 表示 $[1...i]$ 中的数与第 $j$ 个块之间的贡献，利用桶（值域前缀和）不难做到 $O(n\sqrt{n})$。

这样，计算两块之间的贡献时，直接差分即可（不需要常数巨大的归并）。

计算红色部分时，可以转而枚举整块，然后差分。

蓝色部分依然需要归并计算。

2. 经典分块技巧

一些 基于分块的技巧 和 分块需要的技巧。

• $\color{blue}\bf\Delta$ 块状数组

某些分块可以视作三层的 $\sqrt{n}$ 叉树，如图。

块状数组查询和修改的复杂度一优一劣，用于查询和修改数目不同的问题，以平衡复杂度。

• $O(1)$ 单点修改，$O(\sqrt{n})$ 查询区间和。

  维护块和，修改时只需修改对应元素以及块和，查询时和数列分快相同。

• $O(\sqrt{n})$ 单点修改，$O(1)$ 查询前缀和。

  维护块内前缀和，块和的前缀和。查询时整块正缀和加上块内前缀和。

  修改时暴力 $O(\sqrt{n})$ 分别重新计算块内前缀和和块和的前缀和。

当值域大小为 $O(n)$ 时，可以用类似权值线段树的形式维护 “权值 $\sqrt{n}$ 叉树”。这个技巧被称为值域分块。

• $O(1)$ 插入一个数，$O(\sqrt{n})$ 查询第 $k$ 小。

  维护块和。查询时先逐块确定，然后进入块内逐个确定。

• $O(\sqrt{n})$ 插入一个数，$O(1)$ 查询第 $k$ 小。（较为困难）

  首先求出答案在那个值域块内，再求答案。

  对每个 $k$ 维护第 $k$ 大值在哪个值域块中，会形成 $O(\sqrt{n})$ 个段。

  一次修改后，每个段的端点会移动，总复杂度是 $O(\sqrt{n})$ 的。

  对于每个值域块维护一个有序序列，利用插入排序可以做到 $O(\sqrt{n})$。

  再维护每个块前面的数的数目，将 $k$ 减去之后直接取对应下标即可。

• 例题 : CC Chef and Churu

  题意 : 给定一个长度为 $n$ 的序列和 $m$ 个区间。

  有两种操作：

  • 把序列中的第 $x$ 个数改为 $y$
  • 求第 $x$ 个区间到第 $y$ 个区间的和 (的和)

将区间分块。维护 $c[k][i]$ 表示在第 $k$ 块中第 $i$ 个位置被覆盖了多少次。

这样，在单点修改之后，能 $O(\sqrt{n})$ 地计算出各个块的和的变化。

查询时，对于散块暴力 $O(\sqrt{n})$ 次区间求和，使用 $O(\sqrt{n})$ 修改 $O(1)$ 求和的分块即可。

• 配合莫队使用 : 莫队小记

• 可持久化块状数组

将上述三层 $\sqrt{n}$ 叉树可持久化即可。可以搞出“块状主席树”之类的东西。

例题 : P5574 [CmdOI2019]任务分配问题 （ $O(n\sqrt{n}+nk\log n)$ ）

• $\color{blue}\bf\Delta$ 块状链表

解决一系列带插入的序列问题。（在带插入的序列上维护分块）

将某个元素插入某个块时，将该块重构。若某个块的大小超过 $2B$ （或其他自定常数）则分裂为两个大小为 $B$ 的块。

这样，分裂次数是 $O(n/B)$ 的，且能保证各个块的大小在 $[B,2B]$ 之间。

代码实现细节较多，具体见例题。

• 例题 : P4278 带插入区间K小值

在远古时期这题的时限是 $\texttt{1s}$ ，故几乎只有实现较好的分块能通过。

先考虑带单点修改区间K小值，若沿袭 P5356 的做法，复杂度为 $O(q\sqrt{n}\log n)$ ，无法接受。

注意到本题的特殊性 ： 值域较小（认为与 $n$ 同阶）。这启发我们使用值域分块。

维护序列块的前缀权值块状数组，差分能得到任意一端块的权值块状数组。再将散块 $O(B)$ 建立一个权值块状数组。

在线性组合后的权值块状数组上，模仿主席树二分来爬，复杂度是 $O(\sqrt{n})$ 的。

在单点修改时，只会有 $O(n/B)$ 次 $O(1)$ 的权值块状数组更新。

取 $B=\sqrt{n}$ 即可做到 $O(n\sqrt{n})$。

接下来考虑插入，只需多考虑分裂操作。

评测记录 | 代码Link

• $\color{blue}\bf\Delta$ 分散层叠 : P6466 分散层叠算法(Fractional Cascading)

• $\color{blue}\bf\Delta$ 带插入全序集维护

题意 : 维护一个序列，支持（在指定元素后面）插入元素，询问两个元素的先后顺序。

显然可以使用平衡树维护，回答询问时，求出两者的排名并比较。这样能做到 $O(\log n)$ 修改 $O(\log n)$ 查询。

考虑给每个元素一个标号，是的先后顺序和标号的大小顺序相对应。

给根一个值域区间，如 $[0,1]$ 或 $[0,2^{60}-1]$，将点 $u$ 的权值设为自己区间的中点 $mid=(u.l+u.r)/2$，并令左右儿子的值域区间分别为 $[u.l,mid],[mid,u.r]$。

显然，这样得到的权值也满足左小右大的性质。若平衡树的最大高度为 $h$ ，则权值精度要求是 $O(2^h)$ 的。

使用重量平衡树（如替罪羊树）来维护这个序列，这样能够保证我们每次操作更新（并重新标记权值）的子树大小是 $O(\log n)$ 级别的。

而且，替罪羊树的树高严格 $\leq \log_{1/\alpha} n$ （一般不超过 $3\log n$），故对精度的要求也较低（低于 $O(n^3)$），使用 double 或 long long 即可满足。

比较先后顺序时，只需比较标号即可，这样即可做到（均摊） $O(\log n)$ 修改 $O(1)$ 查询。

• 均摊 $O(1)$

将序列分成块状链表的形式，每一块的大小在 $[\log n,2\log n]$ 之间，适时分裂。

块外用替罪羊树维护。共产生 $O(n/\log n)$ 次分裂，故复杂度为 $O(n)$。

比较时，先比较所在块的先后顺序，再比较块内的先后顺序。

块内使用链表维护，插入的元素的权值设置为前驱和后继权值的平均数，这样所需的值域也并不大。

• 严格 $O(1)$ ： 先咕咕。

• $\color{blue}\bf\Delta$ 四毛子 : P3793 由乃救爷爷

  题意 ： 静态序列，查询区间 $\min$。

该问题的一个经典做法是 $\rm ST$ 表，但需要 $O(n\log n)$ 的预处理时间。

考虑将原序列分为 $O(\log n)$ 一块，每一块预处理前/后缀 $\min$ ，整块的 $\min$ 上建立 $\rm ST$ 表。

这样，若查询的区间端点异块，则使用散块前/后缀 $\min$ 拼上一段整块的 $\min$ 就能做到 $O(1)$ 查询。

上面的复杂度是 $O(n)-O(1)$ 的。

若区间端点同块，只能暴力，但是题目中一般不会出现这种情况。这样，我们就得到了一个简易的 $O(n)-O(1)\ \rm rmq$ 替代品。

递归套用本算法可以得到 $O(n\alpha (n))-O(\alpha (n))$ 的做法，但不实用。

3. 根号分治 & 自然根号

有时，根号复杂度会产生于一些非常自然的问题中。

• $\color{blue}\bf\Delta$ 根号分治

例 : 有若干数和为 $n$ ，则最多有 $n/a$ 个数字大于 $a$。

若对于某个数可以 $O(x)$ 处理，那我们就以 $O(xa)$ 的复杂度保证了其余数都 $\leq a$。

• 例题① : 「Be Surrounded」

  题意 : 维护一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，支持下列两种操作 :

  • 将点 $u$ 的权值 $+y$
  • 查询与 $u$ 相连的点的权值和

点度数总和是 $O(m)$ 的，对度数进行根号分治。

对于度数 $\geq \sqrt{m}$ 的点，称为大点，反之称为小点。

在查询小点时暴力。修改时主动给周围的大点贡献，由于大点数目是 $O(\sqrt{m})$ 的，一次修改也不会超过 $O(\sqrt{m})$。

总复杂度 $O(q\sqrt{m})$。

• 例题② : P3396 哈希冲突

  题意 : 维护一个长为 $n$ 的序列 $A$，支持下列操作 :

  • 单点修改
  • 查询 $\sum\limits_{i=1}^n[i\bmod x=y] A_i$

考虑 $x\geq \sqrt{n}$ 的询问，显然可以 $O(\sqrt{n})$ 计算。

对于剩下每个询问 $(x,y)$ ，都维护其答案。在单点修改时，对于每个 $x$ 都有一个 $y$ 的答案改变，复杂度也是 $O(\sqrt{n})$。

• 练习题

  • [DS记录]P5309 [Ynoi2011]初始化

  • [DS记录]P5528 [Ynoi2012]WC,THUWC,CTSC与APIO2017

  • [DS记录]P5397 [Ynoi2018]天降之物

  • [??记录]CF1039D You Are Given a Tree

  • 题解 CF1039E 【Summer Oenothera Exhibition】

• $\color{blue}\bf\Delta$ 和中的不同数

  有若干数和为 $n$ ，则最多有 $O(\sqrt{n})$ 个不同的数。

显然，最差情况是 $n=1+2+3+...+m$ ，和是 $O(m^2)$ 级别的，故 $m=O(\sqrt{n})$。

• $\color{blue}\bf\Delta$ 复杂度与 $\min$ 相关的询问

  有 $m$ 个集合，大小分别为 $S_1,S_2...S_m$。设 $n=\sum_{i=1}^mS_i$。

  有 $q$ 次对子询问，处理询问 $(x,y)$ 的复杂度为 $O\big(\min(S_x,S_y)\big)$。

  若将询问记忆化，则总复杂度为 $O(n\sqrt{q})$。

证明 : 我们选出复杂度最大的 $q$ 个不同的询问进行求和。

记 $S$ 从大到小排序后的结果为 $S'$ ，复杂度最大的 $q$ 个不同的询问的复杂度和为 $O\Big(\sum_{i=1}^{\sqrt{q}}S_i\times i\Big)$。

最差情况是 $S$ 为 $O(\sqrt{q})$ 个 $O(n/\sqrt{q})$ ，此时复杂度为 $O(n\sqrt{q})$。

例题 : P5576 [CmdOI2019]口头禅

• $\color{blue}\bf\Delta$ 广义 SAM 上的一个算法

  对于（多串建立的）广义 SAM ，定义节点 $u$ 的 $siz_u$ 为 $parent$ 树子树内串的种类数。

  （即将输入中第 $i$ 个串的所有终止节点加上标记 $i$ ，问子树内不同标记个数）

  设 $n=\sum_i|S_i|$ ，则 $\sum_u siz_u$ 是 $O(n\sqrt{n})$ 级别的。

证明 : 对于某个 $S_i$ ，其贡献的复杂度显然为 $O\big(\min(|S_i|^2,n)\big)$。

当 $|S_i|>\sqrt{n}$ 时，这样的串只有 $O(\sqrt{n})$ 个，就算跑满 $O(n)$ 的复杂度，也仅为 $O(n\sqrt{n})$。

当 $|S_i|\leq \sqrt{n}$ 时，复杂度不超过 $O(\sum |S_i|^2)\leq O(n*\max|S_i|)=O(n\sqrt{n})$。

也存在达到此上界的构造，可见 Itst : 广义 SAM 上每个模板串包含的节点数量和的上界以及构造

例题 : [Str记录]CF204E Little Elephant and Strings

• $\color{blue}\bf\Delta$ SAM 上 endpos 集合的等差序列划分

  将 $\rm SAM$ 上每个节点的 $\rm endpos$ 集合划分为若干等差序列。等差序列的总个数为 $O(n\sqrt{n})$。

证明 :

• $len\leq \sqrt{n}$ 的点 ： 由于 $len$ 相同的点 $\rm edp$ 集合不交，每个 $len$ 的集合总大小为 $O(n)$ ，故这部分的集合总大小仅为 $O(n\sqrt{n})$。

• $len>\sqrt{n}$ 的点 : 若有两个相邻的 $\rm edp$ 距离不超过 $len/2$ ，则距离必然为最小循环节。

  由此，只有 $>len/2$ 的空位才能隔断某个等差数列，故每个点的等差数列个数至多是 $O(n/len)\leq O(\sqrt{n})$ 的。

也存在达到此上界的构造，限于篇幅故不展示。

找出这些等差序列的方法暂不介绍，有题目之后再说。

• $\color{blue}\bf\Delta$ Border 的分布

  一个串的 $\rm Border$ 可以被划分为若干等差序列，其中公差 $>B$ 的等差序列总大小 $\leq O(n/B)$。

$\rm Border$ 并非完全随意地分布为 $O(\log n)$ 个等差序列。

$\rm Border$ 长度按照 $[2^0,2^1),[2^1,2^2),...[2^k,2^{k+1})...$ 分段后，可以证明每一段内至多只有一个等差序列。

故公差 $>B$ 的等差序列总大小是 $O(\sum_{k}(n/2^k)/B)=O(n/B)$。

例题 ： [Str记录]Loj#6681. yww 与树上的回文串

4. Ynoi 分块选做

题解都较为繁琐，故不在同一篇文章中展示。

• [DS记录]P5063 [Ynoi2014] 置身天上之森

• [DS记录]P5611 [Ynoi2013]D2T2

• [DS记录]P5073 [Ynoi2015] 世上最幸福的女孩

• 最初分块 : [DS记录]P4119 [Ynoi2018]未来日记

• 第二分块 : [DS记录]P4117 [Ynoi2018]五彩斑斓的世界 （大分块入门推荐）

• 第四分块 : [DS记录]P5397 [Ynoi2018]天降之物

• 第四分块·改 : [DS记录]P5692 [MtOI2019]手牵手走向明天

• 第六分块 : [DS记录]P4118 [Ynoi2018] 末日时在做什么？有没有空？可以来拯救吗？

• 第十分块 : [DS记录]P6578 [Ynoi2019]魔法少女网站